Craps og sannsynlighet h1>

Fa via App Store Les dette innlegget i var app!

Sannsynlighet for a vinne et spill av craps.

Terningspillet craps spilles som folger: Spilleren kaster 2 terninger, og hvis summen er 7 eller 11, vinner han / hun. Hvis summen er 2, 3 eller 12, taper han / hun. Hvis summen er noe annet, fortsetter han / hun a kaste til det nummeret vises igjen, eller kaster en 7, hvor kampen slutter med tap.

Det jeg vet er at $ P (7) = 6/36 $, $ P (11) = 2/36 $. Sa P (vinnende) i forste rulle er $ 8/36 $. Videre er sannsynligheten for a matte rulle igjen $ 1- [P ($ vinnende forste rulle $) + P ($ taper forste rulle $)] = 24/36 $. Det er hva som skjer hvis spillet ikke slutter i 1. rulle som har fatt meg litt forvirret, siden det kunne fortsette og ubestemt antall ruller. Men siden det ikke kan v re 7,11,2,3 eller 12, avhenger det av om de ruller en 4,5,6,8,9 eller 10.

Merk, dette er ikke et lekserproblem, men en spennende en jeg fant i en annen bok «Sannsynlighetsmodeller, Sheldon Ross»

Anta at du kaster $ 4 $ og la $ p (4) $ din vinnende sannsynlighet. Ved neste rulle har du sannsynlighet $ 3/36 $ for a vinne (du kaster 4), en sannsynlighet $ 6/36 $ for a miste (du kaster 7) og en sannsynlighet $ 27/36 $ for a gjenta hele prosessen pa nytt kast et annet tall). Sa: $$ p (4) = + p (4), \ quad \ hbox \ quad p (4) =. $$ Gjenta denne begrunnelsen for de andre resultatene og beregne deretter den totale sannsynligheten for a vinne som: $$ p_ = + p (4) + p (5) + \ ldots $$

Sannsynligheten for a vinne direkte er, som beregnet, $ 8/36 $, og sannsynligheten for a miste direkte er $ (1 + 2 + 1) / 36 = 4/36 $.

For de resterende tilfellene ma du summere over alle gjenv rende ruller. La $ p $ v re sannsynligheten for a rulle ditt innledende rulle, og $ q = 6/36 = 1/6 $ sannsynligheten for a rulle en $ 7 $. Deretter er sannsynligheten for a rulle opprinnelig rulle for du ruller $ 7 $, $ p / (p + q) $, og sannsynligheten for a rulle $ 7 $ for du ruller ditt opprinnelige rulle er $ q / (p + q) $. Pa den maten, med tanke pa sannsynligheten for a begynne a rulle den rollen, vil hver rulle som ikke vinner eller mister direkte gi et bidrag $ p ^ 2 / (p + q) $ til din vinnende sannsynlighet.

og $ 16 / (10 \ cdot36) $ og $ 9 / (9 \ cdot36) $ for $ p = 4/36 $ og $ p = 3/36 $, henholdsvis. Hvert av disse tilfellene oppstar to ganger (en gang over $ 7 $ og en gang under), sa din totale vinnende sannsynlighet er.